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Teoría de vigas de Euler-Bernoull

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materialesque permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.


Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:
1.   Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E ycoeficiente de Poisson despreciable.
2.   Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical solo depende de x: uy(x, y) =w(x).
3.   Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra solo sufren desplazamiento vertical y giro: ux(x, 0) = 0.
4.   La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σyy= 0.
5.   Hipótesis de Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.
Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es solo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:

u_x(x,y) = -y\theta_z(x)= -y\frac{dw}{dx} \qquad u_y(x,y) = w(x)


Deformaciones y tensiones en las vigas



Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:
\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = -y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = {0}
A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke, asumiendo  \sigma_{yy}={0},\sigma_{zz}={0}:
\sigma_{xx}=-E y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \sigma_{xy} = {0}

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energía de deformación tangencial, para tal fin deberá recurrirse a la teoría de Timoshenko en la cual:
\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left (\frac{dw}{dx}-\theta_z \right)
Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga.

Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son:
1. Las fuerzas axiales
2. Las fuerzas cortantes
3. El momento flector 
La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo.
Calculo de reacciones
Convenciones de simbología para apoyos y cargas
Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores.
Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:
 Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido.
 

Nomenclatura 
  • Se calcula la resultante de los momento de los factores externos y de la cortante ubicados a un lado de cada corte.
  • Los momento se toman negativos si concuerdan con el movimiento horario mientras que todas las fuerzas son positivas en los sentidos de los ejes propuestos: de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha.
  • El análisis efectuado de izquierda a derecha es idéntico al proceso inverso, cambiando los efectos de tensión del momento flector y de la fuerza cortante. 
  • Calculo de reacción:
  • Viga simplemente apoyada: Carga puntual
    Viga simplemente apoyada: Momento puntual
    Viga simplemente apoyada: Carga distribuida

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